Dicas úteis

Um pouco de informação sobre o cubo e como calcular a área de superfície do cubo

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Declaração do problema: A área da superfície do cubo é S. Encontre seu volume.

A tarefa faz parte do exame de matemática básica da 11ª série, sob o número 13 (Problemas em estereometria).

Considere como esses problemas são resolvidos pelo exemplo e obtenha uma solução geral.

A área da superfície do cubo é 24. Encontre seu volume.

A área da superfície do cubo é igual à soma das áreas de todas as suas faces. Um cubo tem 6 faces idênticas. Se tomarmos 1 lado para a, a área da superfície do cubo será igual a:

Encontramos da igualdade obtida o lado do cubo:

Resta encontrar o volume do cubo. Para fazer isso, você precisa elevar o lado em um cubo:

Em termos gerais, a solução para este problema em estereometria é a seguinte:

a = √ S / 6 - lado do cubo

V = a 3 = (√ S / 6) 3

onde S é a área da superfície do cubo.

Resta apenas substituir valores específicos e calcular o resultado.

Compartilhe o artigo com colegas "Dada a área de superfície do cubo, encontre seu volume - como resolver».

Existe outra solução?

Sugira outra maneira de resolver o problema. "Dada a área da superfície do cubo, encontre seu volume". Talvez seja mais compreensível para alguém:

Qual é a área?

Esse valor é geralmente indicado pela letra latina S. Além disso, isso é verdade para disciplinas escolares, como física e matemática. É medido em unidades quadradas de comprimento. Tudo depende dos dados no problema da quantidade. Pode ser mm, cm, m ou km ao quadrado. Além disso, pode haver casos em que as unidades nem são indicadas. Estamos falando simplesmente da expressão numérica da área sem nome.

Então, qual é a área? Este é um valor que é uma característica numérica da figura ou corpo em questão. Ela mostra o tamanho de sua superfície, que é limitada pelos lados da figura.

Que forma é chamada de cubo?

Esta figura é um poliedro. E não é fácil. Ele está correto, ou seja, ele tem todos os elementos iguais entre si. Seja lados ou faces. Cada superfície do cubo é um quadrado.

Outro nome para o cubo é o hexaedro comum, se em russo, e o hexágono. Pode ser formado a partir de um prisma quadrangular ou paralelepípedo. Sob a condição de que todas as arestas são iguais e os ângulos formam 90 graus.

Essa figura é tão harmoniosa que é frequentemente usada na vida cotidiana. Por exemplo, os primeiros brinquedos para bebês são cubos. E divertido para os mais velhos é o Cubo de Rubik.

Como o cubo está conectado com outras figuras e corpos?

Se desenharmos uma seção de um cubo que passa por suas três faces, ela se parecerá com um triângulo. À medida que você se afasta do topo, a seção será maior. Chegará um momento em que 4 faces já se cruzarão e a figura na seção transversal se tornará um quadrilátero. Se você desenhar uma seção no centro do cubo para que fique perpendicular às suas diagonais principais, obterá um hexágono regular.

Dentro do cubo, você pode desenhar um tetraedro (pirâmide triangular). Um de seus cantos é colocado no topo do tetraedro. Os três restantes coincidirão com os vértices situados nas extremidades opostas das arestas do canto selecionado do cubo.

Um octaedro (um poliedro regular convexo que se parece com duas pirâmides conectadas) pode ser inserido nele. Para fazer isso, encontre os centros de todas as faces do cubo. Eles serão os vértices do octaedro.

A operação reversa também é possível, ou seja, é possível realmente inserir um cubo dentro do octaedro. Somente agora os centros das faces da primeira se tornarão os vértices da segunda.

Método 1: calcular a área de um cubo por sua borda

Para calcular toda a área de superfície de um cubo, é necessário o conhecimento de um de seus elementos. A maneira mais fácil de resolver quando a borda é conhecida ou, em outras palavras, o lado do quadrado em que consiste. Geralmente esse valor é indicado pela letra latina "a".

Agora precisamos lembrar a fórmula pela qual o quadrado é calculado. Para não se confundir, sua designação é introduzida pela letra S1.

Por conveniência, é melhor definir números para todas as fórmulas. Este será o primeiro.

Mas esta é a área de apenas um quadrado. Existem seis deles: 4 nas laterais e 2 na parte inferior e superior. Em seguida, a área da superfície do cubo é calculada pela seguinte fórmula: S = 6 * a 2. O número dela é 2.

Método 2: como calcular a área se o volume corporal for conhecido

Este método resume-se a contar o comprimento da costela sobre um volume conhecido. E então use a fórmula conhecida, que é indicada pelo número 2 aqui.

A partir da expressão matemática do volume do hexaedro, deduz-se um a partir do qual o comprimento da nervura pode ser calculado. Aqui está:

A numeração continua e o número 3 já está aqui.

Agora pode ser calculado e substituído na segunda fórmula. Se agirmos de acordo com as normas da matemática, precisamos derivar esta expressão:

Essa é a fórmula para a área de toda a superfície do cubo, que pode ser usada se o volume for conhecido. O número desta entrada é 4.

Método 3: calcular a área ao longo da diagonal de um cubo

Para calcular a área de toda a superfície do cubo, também é necessário desenhar uma aresta através da diagonal conhecida. Aqui usamos a fórmula para a diagonal principal do hexaedro:

É fácil derivar uma expressão para a borda do cubo:

Esta é a sexta fórmula. Após o cálculo, você pode novamente usar a fórmula sob o segundo número. Mas é melhor escrever isso:

Ele é numerado 7. Se você observar com atenção, perceberá que a última fórmula é mais conveniente do que um cálculo em fases.

Método 4: como usar o raio do círculo inscrito ou circulado para calcular a área do cubo

Se denotarmos o raio do círculo descrito próximo ao hexaedro pela letra R, a área da superfície do cubo será facilmente calculada pela seguinte fórmula:

Seu número de série é 8. Ele é facilmente obtido devido ao fato de o diâmetro do círculo coincidir completamente com a diagonal principal.

Denotando o raio do círculo inscrito pela letra latina r, podemos obter a seguinte fórmula para a área de toda a superfície do hexaedro:

Algumas palavras sobre a superfície lateral do hexaedro

Se o problema exigir encontrar a área da superfície lateral do cubo, você precisará usar a técnica já descrita acima. Quando a aresta do corpo já é dada, simplesmente a área quadrada precisa ser multiplicada por 4. Esta figura apareceu devido ao fato de o cubo ter apenas quatro faces laterais.A notação matemática para esta expressão é a seguinte:

Seu número é 10. Se forem fornecidas outras quantidades, elas procedem da mesma forma que os métodos descritos acima.

Exemplos de tarefas

Condição Um. A área da superfície do cubo é conhecida. É 200 cm². É necessário calcular a diagonal principal do cubo.

1 caminho. Você precisa usar a fórmula, indicada pelo número 2. A partir disso, será fácil deduzir "a". Essa notação matemática se parecerá com a raiz quadrada do quociente, igual a S por 6. Depois de substituir os números, verifica-se:

a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (cm).

A quinta fórmula permite calcular imediatamente a diagonal principal do cubo. Para fazer isso, multiplique o valor da aresta por √3. É simples A resposta é que a diagonal é de 10 cm.

2 vias. Caso você esqueça a fórmula da diagonal, mas eu lembro do teorema de Pitágoras.

Semelhante ao que estava no primeiro método, encontre a vantagem. Então precisamos escrever o teorema da hipotenusa duas vezes: a primeira para o triângulo na face, a segunda para a que contém a diagonal desejada.

x² = a² + a², em que x é a diagonal do quadrado.

d² = x² + a² = a² + a² + a² = 3 a². A partir dessa entrada, é fácil ver como a fórmula da diagonal é obtida. E então todos os cálculos serão, como no primeiro método. É um pouco mais longo, mas permite que você não memorize a fórmula, mas obtenha você mesmo.

Resposta: a diagonal do cubo é 10 cm.

A segunda condição. A partir da área de superfície conhecida, que é igual a 54 cm 2, calcule o volume do cubo.

Usando a fórmula sob o segundo número, você precisa descobrir o valor da aresta do cubo. Como isso é feito é descrito em detalhes no primeiro método de solução do problema anterior. Após todos os cálculos, obtemos que a = 3 cm.

Agora você precisa usar a fórmula para o volume do cubo, no qual o comprimento da nervura é aumentado para o terceiro grau. Portanto, o volume será considerado da seguinte forma: V = 3 3 = 27 cm 3.

Resposta: o volume do cubo é 27 cm 3.

A terceira condição. É necessário encontrar a borda do cubo para a qual a condição a seguir é atendida. Quando a nervura é aumentada em 9 unidades, toda a área da superfície aumenta em 594.

Como não há números explícitos no problema, apenas a diferença entre o que aconteceu e o que se tornou, precisamos introduzir notação adicional. Não é difícil. Deixe o valor desejado ser igual a "a". Em seguida, a borda ampliada do cubo será igual a (a + 9).

Sabendo disso, é necessário anotar a fórmula da área de superfície do cubo duas vezes. O primeiro - para o valor inicial da aresta - coincidirá com o que é numerado pelo número 2. O segundo será ligeiramente diferente. Nele, em vez de "a", você precisa escrever a soma (a + 9). Como o problema é sobre a diferença de área, é necessário subtrair o menor da área maior:

6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 = 594.

Precisa realizar a transformação. Primeiro, coloque o colchete 6 no lado esquerdo da igualdade e depois simplifique o que resta entre parênteses. Ou seja (a + 9) 2 - a 2. Aqui está escrita a diferença dos quadrados, que podem ser transformados da seguinte forma: (a + 9 - a) (a + 9 + a). Depois de simplificar a expressão, obtemos 9 (2a + 9).

Agora, ele precisa ser multiplicado por 6, ou seja, o número que estava na frente do colchete e equacionado a 594: 54 (2a + 9) = 594. Essa é uma equação linear com uma desconhecida. É fácil de resolver. Primeiro você precisa abrir os colchetes e depois transferir o termo com um valor desconhecido para o lado esquerdo da igualdade e os números para o lado direito. A seguinte equação será obtida: 2a = 2. Pode-se ver que o valor desejado é 1.

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